Toda função 
na forma 
, com 
(
, 
e 
) é denominadafunção quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
na forma , com (, e ) é denominadafunção quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.
Representação Gráfica de uma Função Quadrática
Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenadospertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:
| x | y = -x2 + 10x - 14 |
|---|---|
| 2 | y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2 |
| 3 | y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7 |
| 4 | y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10 |
| 5 | y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11 |
| 6 | y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10 |
| 7 | y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7 |
| 8 | y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2 |
Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto(5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.
Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas
De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).
Raiz da Função Quadrática
Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.
Sendo 
a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.
Vértice e Concavidade da Parábola
Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a suaconcavidade é para baixo.
Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.
Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas funções.
Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:
Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.
O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0:
é côncavo para baixo quando a < 0:
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:
Coordenadas do Vértice da Parábola
A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vérticepara conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.
Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática
Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.
Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática
Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:
Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir umvalor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:
Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática
Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2:
Os coeficientes da regra de associação desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:
6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo:
Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:
