Correção da Prova de Matemática

1. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário)   Observe a adição: Sendo E e U dois algarismos não nulos e distintos, a soma E + U é igual a

(A) 13           (B) 14          (C) 15            (D) 16           (E) 17

 Resolução:  Observando a soma, podemos utilizar o método tentativa

Vamos considerar o U= 9

      9                         U

  2  9                    2  U

  7  9                    E  U

______             _____

  9  7                   U   E

Vemos que a soma 7 + 2= 9  Agora é só somar E+U= 7+9=16

Letra: D

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2. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário)  

 O número natural (2¹⁰³ + 2¹⁰² + 2¹⁰¹ –  2¹⁰⁰) é divisível por

(A) 6           (B) 10          (C) 14           (D) 22           (E) 26

 Resolução:   Colocando o fator comum em evidência:

2¹⁰³ + 2¹⁰² + 2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰

2³ . 2¹⁰⁰ + 2². 2¹⁰⁰ + 2.2¹⁰⁰  – 1.2¹⁰⁰

8.2¹⁰⁰ + 4.2¹⁰⁰ + 2.2¹⁰⁰  – 1.2¹⁰⁰

2¹⁰⁰ .(8 + 4 + 2 -1)

2¹⁰⁰ . 13

Nota-se que só existem fatores primos 2 e 13, de onde podemos descartar todas as opções, exceto a letra E.

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3. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário)   Aldo, Baldo e Caldo resolvem fazer um bolão para um concurso da Mega-Sena. Aldo contribui com 12 bilhetes, Baldo, com 15 bilhetes e Caldo, com 9 bilhetes. Eles combinaram que, se um dos bilhetes do bolão fosse sorteado, o prêmio seria dividido entre os três proporcionalmente à quantidade de bilhetes com que cada um contribuiu. Caldo também fez uma aposta fora do bolão e, na data do sorteio, houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da aposta individual de Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Qual a razão entre a quantia total que Caldo recebeu e a quantia que Baldo recebeu?

(A) 0,8         (B) 1,5          (C) 2              (D) 2,5          (E) 3

 Resolução:

A         B       C

12     15      9       /3 (Dividimos tudo por 3 para simplificarmos)

4        5       3

Devemos somar o número de apostas:

4X +5X +3X= Y( Prêmio)

12X =Y

X = Y/12

Caldo recebeu:

Aposta em grupo:  3X =  3 . Y/12 = 3Y/12 /3 = Y/4

Quantia Total:  Y ( Prêmio da Aposta individual) +Y/4 = 4Y +Y/4 = 5Y/4

Baldo recebeu:

5X = 5. Y/12 = 5Y/12

A razão entre a quantia total que Caldo recebeu e a quantia que Baldo recebeu é:

5Y/4 : 5Y/12 

5Y/4 . 12/5Y = 3

Letra: E

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4. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Amanda e Belinha são amigas e possuem assinaturas de TV a cabo de empresas diferentes. A empresa de TV a cabo de Amanda dá descontos de 25% na compra dos ingressos de cinema de um shopping. A empresa de TV a cabo de Belinha dá desconto de 30% na compra de ingressos do mesmo cinema. O preço do ingresso de  cinema, sem desconto, é de R$ 20,00. Em um passeio em família, Amanda compra 4 ingressos, e Belinha compra 5 ingressos de cinema no shopping, ambas utilizando-se dos descontos oferecidos por suas respectivas empresas de TV a cabo. Quantos reais Belinha gasta a mais que Amanda na compra dos ingressos?
(A) 10      (B) 15          (C) 20        (D) 25          (E) 30

 Resolução:

Amanda: 4 ingressos x 20 reais = 80 reais

25% de 80 = 20 reais

Total: 80 – 20 = 60 reais

Belinha:

5 ingressos x 20 reais = 100 reais

30% de 100 = 30 reais

Total: 100 – 30 = 70

Belinha gasta 10,00 a mais que  Amanda .

Letra A

5. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário)  Em uma determinada agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é de 80%. Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16 h, qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais de 15 min na fila?

(A) 0,64%         (B) 2,56%          (C) 30,72%         (D) 6,67%         (E) 10,24%

 Resolução:

Se a probabilidade do tempo de espera na fila para ser atendido, para um tempo menor ou igual a 15 min, é de 80% então a probabilidade de  um cliente  esperar  mais  de 15 min na fila será de 20%.

A probabilidade de  que exatamente 3 clientes esperem mais de 15 minutos será:

4  x 20% x 20% x 20% x 80%

4 x 0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,8 =  = 0,0256 = 2,56%

Obs: Utilizamos o 4 para considerar as 4 opções para o cliente que espera menos de 15 minutos.

Letra: B

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6. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa  administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessas informações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha de amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a
(A) 2.087,25           (B) 2.218,75               (C) 2.175,25             (D) 2.125,00          (E) 2.225,00

 Resolução:

20 anos .12= 240

150 mil (valor do financiamento) / 240 meses (prazo) = 625 reais Fixos

Já os juros, eles são cobrados sobre o saldo devedor. Na segunda parcela este é igual a:

150.000 – 625 = 149.375

Como a taxa de juros é de 1%:

149.375 x 1% = 1.493,75

Prestação total:

625 + 1493,75 + 75,00 ( seguro especial) + 25,00 ( despesa administrativa)  = 2.218,75

Letra: B

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7. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de 10.000 reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, conforme descritos a seguir.

Custo 1 – Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto anunciados.

Custo 2 – Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais.
Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, no regime de juros compostos, é de

(A) 5,2%         (B) 4,5%         (C) 4,7%           (D) 5,0%         (E) 4,3%

 Resolução:

Calculando o valor dos descontos:

Custo 1:

Desconto= valor dos cheques x taxa de juros x tempo

50000 reais x 4% x 3 meses = 50000 x 3 x 0,04 = 6.000

Valor dos cheques – desconto= 44.000,00 – 500,00 Custo 2= 43.500,00

Para sabermos o valor da taxa efetiva  faremos uma descapitalização  usando a seguinte fórmula:

Valor atual=  Valor nominal

(1 + i )ⁿ

43.500,00= 50.000,00 /   ( 1 + i )³

( 1 + i )³ = 50.000/43.500 = 1,1494 segundo a tabela é aproximadamente  1,047

1 + i = 1,047

i= 1,047 – 1

i= 0,047

i= 4,7%

Letra: C

8. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Um grupo de analistas financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte característica:
X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide corretamente em metade das vezes. Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma decisão correta é:
(A) 0,16
(B) 0,64
(C) 0,48
(D) 0,32
(E) 0,80

 Resolução:

Probabilidade de acerto dos analistas:

X = 80% (20% de erro)

Y = 80% (20% de erro)

Z = 50% (50% de erro)

Caso  1:

X    .    Y    .     Z

0,8  .  0,8  .  0,5

Probabilidade de acerto  = 0,8(acerto) x 0,8(acerto) x 0,5(acerto) = 0,32

Caso  2:

X    .      Y     .     Z

0,8   .  0,8   .   0,5

Probabilidade de acerto = 0,8(acerto) x 0,8(acerto) x 0,5(erro) = 0,32

Caso 3:

X    .    Y   .      Z

0,8  .   0,2   .   0,5

Probabilidade de acerto = 0,8(acerto) x 0,2(erro) x 0,5(acerto) = 0,08

Caso 4:

X    .      Y    .     Z

0,2  .   0,8    .  0,5

Probabilidade de acerto = 0,2(erro) x 0,8(acerto) x 0,5(acerto) = 0,08

Total = 0,32 + 0,32 + 0,08 + 0,08 = 0,8

Letra: E

9. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de
(A) R$ 64,08
(B) R$ 79,17
(C) R$ 40,30
(D) R$ 71,51
(E) R$ 61,96

 Resolução:

Primeiro mês:  Juros de 3% de 1000 = 30 =  1030

Segundo mês: Juros de 3% de 1030 = 0,03.1030 = 30,9 = 1060,90

Juros sobre 10 dias:  1% de 1060,90 = 10,61

Total = 30 + 30,9 + 10,61 = 71,51

Letra:D

10. (Prova  Cesgranrio – Banco do Brasil 2015 – Escriturário) Em um período no qual a inflação acumulada foi de 100%, R$ 10.000,00 ficaram guardados em um cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção. Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$ 10.000,00 de
(A) 1/4
(B) 1/2
(C) 2/3
(D) 3/4
(E) 1

 Resolução:

Se a inflação foi de 100%, é notório que a desvalorização foi de 50% ou 1/2.

i = 1 + i_n /1 + i_f  -1

i = 1+0 / 1+1 – 1

i = ½ – 1

i = – 1/2

Letra: B

AULAO BANESTES

aulao banestes

(CESGRANRIO/IBGE/ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO/2010)

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é

(A) 5/216

(B) 6/216

(C) 15/216

(D) 16/216

(E) 91/216

Resolução

De acordo com o enunciado, o número 6 deve aparecer duas OU três vezes.

Relembramos que aparecendo E no texto, multiplicamos. Aparecendo OU, somamos.

P(aparecer o 6 três vezes) = 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216

P(aparecer o 6 duas vezes) = 1/6 x 1/6 x 5/6 x 3

Obs: o número 3 multiplicando refere-se a C3,2 (combinação de três dois a dois), ou seja:

(Aparecer 6, Aparecer 6, não aparecer 6); (Aparecer 6, não aparecer 6, Aparecer 6); (não aparecer 6, Aparecer 6)

Então,

P(aparecer o 6 mais de uma vez) = P(aparecer o 6 duas vezes) + P(aparecer o 6 três vezes)

P(aparecer o 6 mais de uma vez) = 1/216 + 16/216 = 16/216

Gabarito letra D

Juros Simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. , durante 125 dias.

SOLUÇÃO:
Temos: j = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
j = 40000.0,001.125 = $5000,00

2 - Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses.
Qual a taxa de juros do empréstimo?

SOLUÇÃO:
Temos: j = Pin ;
2520 = 8000.i.7;
Daí, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7
Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m.

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias?

SOLUÇÃO:
Temos imediatamente: j = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = $116.666,67

4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?

SOLUÇÃO: 
j = Pin
1725 = 11500.(4,5/100).n
1725 = 11500.0,045.n = 3,3333... meses = 3 meses + 0,3333...de um mês = 3 meses + 1/3 de um mês
= 3 meses e 10 dias.

5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?

SOLUÇÃO:
Temos: M = P(1 + in).
20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08

6 - Calcule o montante resultante da aplicação a juros simples de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos, num regime de capitalização simples?

SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem:
70300/38000 = 1 + 10.i
1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a.
Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja:
i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m.

8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado?

SOLUÇÃO: 
Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem:
886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00
Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre.

9 - Que capital aplicado num regime de capitalização simples a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00?

SOLUÇÃO:
M = P(1+ in)
650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02
Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que 1 bimestre = 60 dias.

10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples?

SOLUÇÃO:
j = Pin
1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias.
Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d.
Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja:
i= 0,3167% .30 = 9,5% a.m.

11 - Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado?

SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia)
5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias.
Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever:
10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00

12 - Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual simples cobrada nessa operação?

SOLUÇÃO:
8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, então:
M = P(1 + in)
14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem:
14675/10000 = 1 + 255.i
1,4675 = 1 + 255.i
0,4675 = 255.i
i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d.
Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a.

13 - Em quanto tempo um capital aplicado a juros simples de 48% a.a. dobra o seu valor?

SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem:
2P = P[1 + (48/100).n]
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,48.n
1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos
Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja:
n = 2,088333... x 12 = 25 meses.

14 - Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de juros simples de 15% ao trimestre (15% a.t.).

SOLUÇÃO: 
M = P(1 + in)
Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto:
798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00

15 - Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $450.000,00 por 225 dias, à taxa de juros simples de 5,6% ao mês (5,6% a.m.).

SOLUÇÃO: 
M = P(1 + in)
225 dias = 225/30 = 7,5 meses
Logo,
M = 450000[1 + (5,6/100).7,5] = $639.000,00

16 - Se possuo um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros simples corrente é de 28% a.a. , qual o valor atual deste título nas seguintes datas:
a) hoje
b) daqui a um ano
c) 4 meses antes do vencimento.

SOLUÇÃO: 
Vale aqui, definir valor atual , valor nominal e valor futuro do dinheiro.
Valor nominal = é quanto vale um compromisso na sua data de vencimento.
Valor atual = é o valor que um compromisso possui em uma data que antecede ao seu vencimento.
Valor futuro = é o valor que um compromisso possui em uma data posterior ao seu vencimento.

a) valor atual do título hoje:
M = P(1 + in)
15000 = P(1 + 0,28.2), de onde tiramos P = $9.615,38

b) valor atual do título daqui a um ano:
n = 1 ano (faltam 2 - 1 = 1 ano para o vencimento).
15000 = P(1 + 0,28.1), de onde tiramos P = $11.718,75

c) valor atual do título 4 meses antes do vencimento:
n = 4meses e i = 0,28/12 = 0,02333 a. m.
15000 = P(1 + 4.0,02333), de onde tiramos P = $13.719,51

17 - João tomou emprestado $20.000,00 de Carlos para pagá-lo após 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a. . Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dívida, João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a. ?

SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
M = 20000(1 + 0,30.2) = $32.000,00 - este seria o valor a ser pago a Carlos, no final dos dois anos. Para resgatar a dívida 6 meses antes, a uma taxa de juros de 25% a.a. , que é equivalente a
0,25/12 = 0,020833 a.m. , teríamos:
32000 = P(1 + 0,020833.6), de onde tiramos P = $ 28.444,44

18 - João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de juros simples de 28,8% a.a.. Sabendo-se que João pagou $2.061,42 para Carlos, saldando a dívida 2 meses antes do seu vencimento e que nesta época a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo inicial se os juros previstos eram de $648,00?

SOLUÇÃO:
Se João quitou a dívida dois meses antes do vencimento, com o pagamento da quantia de $2.061,42 a uma taxa de juros vigente de 25,2% a.a., poderemos escrever:
M = 2061,42[1 + (0,252/12).2] = $2.148,00 - este seria o valor do pagamento no final do período total. Como é dito que os juros previstos inicialmente eram iguais a $648,00, concluímos que o valor P inicial emprestado era igual a $2148 - $648,00 = $1.500,00, o que responde à primeira parte do problema.
Para calcular o período total n, teremos:
2148 = 1500[1 + (0,288/12).n]
2148/1500 = 1 + 0,024.n
1,432 - 1 = 0,024.n
0,432 = 0,024.n
n = 18 meses

Nota: observe que a taxa 0,288 a.a. ao ser dividida por 12, transforma-se numa taxa mensal. Daí, o período n encontrado, ser expresso em meses.

19 - João aplicou $10.000,00 à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, João propôs a transferência da aplicação para Paulo. Quanto Paulo deverá pagar pelo título, se a taxa de juros simples do mercado for de 35% a.a. ?

SOLUÇÃO: 
O valor nominal do título no seu vencimento será:
M = P(1 + in)
M = 10000[1 + (0,30/12).9] = $12.250,00
Como o título será negociado 2 meses antes do vencimento, quando a taxa de juros do mercado é de 35% a.a. ou seja,
0,35/12 = 0,0292 a.m., vem:
12250 = P(1 + 0,0292.2), de onde tiramos P = $11.574,80
Portanto, o valor justo que Paulo deverá pagar pelo título é $11.574,80.

20 - Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?

SOLUÇÃO:
Temos: j = 2P
j = Pin
2P = P.0,10.n , de onde tiramos n = 20 anos.