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LOGARITMOS

Exercício 1: Se log_aba = 4, calcule:

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

log_aba = 4 => a = (ab)⁴ => a = a⁴b⁴ => b⁴ = 1/a³ => b = (1/a³)^1/4 = 1/a^3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em log_abb na expressão [1]:

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

log_ab = log_acb(1 + log_ac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

E, substituindo [2] em [1]:

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x² – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

log_qa^a + log_qb^b + log_qa^b + log_qb^a = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alog_qa + blog_qb + blog_qa + alog_qb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)log_qa + (a + b) log_qb => A = (a + b)( log_qa + log_qb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) log_qab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx² + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plog_qq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

log_a+bc + log_a-bc = 2log_a+bc.log_a-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

log_ba = log_bbc = log_bb + log_bc = 1 + log_bc [2]

Substituindo [2] em [1]:

PA & PG

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PA & PG

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a₁, a₂, a₃, …) a PA de razão r e (g₁, g₂, g₃, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a₁ = g₁ = 4

(2) a₃ > 0, g₃ > 0 e a₃ = g₃

(3) a₂ = g₂ + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a₃ = a₁ + 2r e g₃ = g₁.q² => 4 + 2r = 4q²

(5) a₂ = a₁ + r e g₂ = g₁.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q² => 4 + 8q – 4 = 4q² => 4q² – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a₃ e g₃:

a₃ = a₁ + 2r => a₃ = 4 + 12 = 16

g₃ = g₁.q² => g₃ = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a_n, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a₃₀ + a₅₅ é igual a:

a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) a_i = a₁ + (i – 1).1 = a₁ + i – 1

Para determinar a₃₀ + a₅₅ precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

• Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
• se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

a_n = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

a_n = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a₃₀ = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a₅₅ = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a₃₀ + a₅₅ = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b²
b) a + c = 2
c) a + c = b²
d) a = b = c
e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão qé:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S₁ a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10^-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S₁

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S₁:

S₁ = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S₂₀ = 20( a₁ + a₂₀)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a₆ + a₁₅ = a₁ + a₂₀

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a₆ + a₁₅)/2 = -15 => 10(a₆ + a₁₅) = -15

=> a₆ + a₁₅ = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a₄ = a₁.q^4-1 => -24 = 3q³ => q³ = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a₆ = a₁q^6-1 => a₆ = 3(-2)⁵ = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo S_n a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a₁ = 6, determine ntal que S_n é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) S_n = (a₁ + a_n)n/2 = (6 + a_n)n/2 = 1456 => (6 + a_n)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos a_n em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) a_n = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n² + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n₁ = 26 e n₂ = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x²/4; x³/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a² = b² + c² => a² = (a – 6)² + (a – 3)²

Resolvendo os produtos notáveis:

a² = a² – 12a + 36 + a² – 6a + 9 = 2a² – 18a + 45

=> a² – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

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MATERIAL PARA TURMAS PM/ES

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA



DEFINÇÃO
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:

Progressão aritmética é a sequência de números onde, a partir do primeiro termo,todos são obtidos somando uma constante chamada razão.



São exemplos de PA:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

Notação

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
n = número de termos( se for uma PA finita )
r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5
an = a6 = 25
n = 6
r = 4


Classificação

QUANTO A RAZAO:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente

• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa é decrescente.

• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.


QUANTO AO NÚMERO DE TERMOS:

• • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.

• • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.



PROPRIEDADES

P1:Três termos consecutivos

Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

Exemplo:

Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

4 + 12/ 2 = 8
8 + 16 / 2 = 12
20 + 28 / 2 = 24


P2: Termo Médio

Numa PA de números impares nos dois extremos, o termo do meio (médio)é a média artmética do primeiro termos e do ultimo


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.

3 + 21 / 2 = 12


P3: Termos Eqüidistantes

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).

7 e 3
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19




Termo Geral

Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)


PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

Portanto, o termo geral será:

an= a1+(n-1)r



Exercícios Resolvidos

1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).

Resolução:
a1=3
a2=9
r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )


Então:
a4 = a1 + r + r + r
a4 = a1 + 3r
a4 = 3 + 3.6
a4 = 3+18
a4 = 21

com a formula do termo geral:

an = a1 + (n - 1 ) r
a4= 3 + (4 - 1) 6
a4 = 3 + 3.6
a4 = 9 + 18
a4 = 21

2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.

Resolução:
a3 = 8
r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )



Então:
a8 = a3 + r + r + r + r + r
a8 = a3 + 5r
a8 = 8 + 5.-3
a8 = 8 - 15
a8 = - 7

com a formula do termo geral :

an = a1 + (n -1)r
a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razão é negativa a PA é decrescente sendo a1 = 15
a8 = 15 + (-21)
a8 = -7


3. 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
Resolução:
Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que:
a1 = 2
an = a5 = 18
n = 2 + 3 = 5
Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
16 = 4r
r = 16/4
r = 4
Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)

Soma dos Termos de uma PA finita


Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:


a1+a10 = 2 + 20 = 22
a2+a9 = 4 + 18 = 22
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22
a5+a6 = 10 + 12 = 22

Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ).
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos?
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050.

Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:

sn=(a1 + an)n/2



Exercícios Resolvidos

1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).
Resolução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50):
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198

Aplicando a fórmula temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000

2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?

Resolução:
PA = (20, 17,14,...)
a1 = 20
r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3

Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5):
a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8

Aplicando a fórmula temos:
S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70
Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.

EXERCICIOS 

1) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)

2) Qual é o centésimo número natural par? (R:198)

3) Ache o sexagésimo número natural ímpar (R:119)

4) Numa PA de razão 5 o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? (R:9ª)

5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157)

6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....)(R:-4360)

7) Numa progressão aritmética, a19=70 e a razão é 7 determine:
---a)O primeiro termo (R:-56)
---b)O décimo termo (R:7)
---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210)

8) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é
obs: dados an= a1 + (n - 1)r
a) 63
b) 74 
c) 87
d) 98 (X)
e) 104

9)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é
a) -16 (X)b) -14
c) -18
d) -12
e) -20

10) Achar o 14º termo da PA (3,10,17,.....)(R:94)

11) Escrever os três primeiros termos de uma PA de razão 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21)

12)Determine a localização do número 22 na PA (82,76,70,....) (R:11)

13) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x; 10; 12. Podemos concluir que x vale
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8 (X)