Dentro de uma urna há bolas brancas e bolas pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de que ela seja preta é 2/3. Se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 4/7. Quantas bolas há nessa urna?
(A) 30
(B) 35
(C) 42
(D) 45
(E) 56
(B) 35
(C) 42
(D) 45
(E) 56
Solução:
Sejam b bolas brancas e p bolas pretas na urna. Pela definição de probabilidade , poderemos escrever:
p / (p +b) = 2/3
Desenvolvendo, fica:
3p = 2(p+b)
3p = 2p + 2b
3p - 2p = 2b
p = 2b
Desenvolvendo, fica:
3p = 2(p+b)
3p = 2p + 2b
3p - 2p = 2b
p = 2b
Se forem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a nova composição da urna seria:
b+10 bolas brancas e p-5 bolas pretas; de acordo com o enunciado do problema e pela definição de probabilidade, poderemos escrever:
b+10 bolas brancas e p-5 bolas pretas; de acordo com o enunciado do problema e pela definição de probabilidade, poderemos escrever:
(b+10) / [(b+10) + (p-5)] = 4/7
Desenvolvendo, fica:
Desenvolvendo, fica:
7(b+10) = 4[(b+10) + (p-5)]
7b + 70 = 4(b + p +5)
7b + 70 = 4b + 4p + 20
7b - 4b = 4p + 20 - 70
3b = 4p - 50
7b + 70 = 4(b + p +5)
7b + 70 = 4b + 4p + 20
7b - 4b = 4p + 20 - 70
3b = 4p - 50
Como já vimos que p = 2b, vem, substituindo:
3b = 4(2b) - 50
3b = 8b - 50
3b - 8b = -50
-5b = -50
b = (-50)/(-5) = 10
Logo, p = 2b = 2.10 = 20
Portanto, existiam inicialmente na urna, p = 20 bolas pretas e b = 10 bolas brancas, totalizando 20 + 10 = 30 bolas, o que nos leva tranquilamente à alternativa A.
3b = 4(2b) - 50
3b = 8b - 50
3b - 8b = -50
-5b = -50
b = (-50)/(-5) = 10
Logo, p = 2b = 2.10 = 20
Portanto, existiam inicialmente na urna, p = 20 bolas pretas e b = 10 bolas brancas, totalizando 20 + 10 = 30 bolas, o que nos leva tranquilamente à alternativa A.
