LOGARITMOS
Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:
Solução:
Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:
Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:
logaba = 4 => a = (ab)4 => a = a4b4 => b4 = 1/a3 => b = (1/a3)1/4 = 1/a3/4
Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)
Substituindo o valor de b em logabb na expressão [1]:
Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:
logab = logacb(1 + logac)
Solução:
Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:
Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:
E, substituindo [2] em [1]:
Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:
logqaa + logqbb + logqab + logqba = p
Solução:
Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:
A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb
Colocando os termos comuns em evidência:
A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb)
E, pela propriedade L1:
A = (a + b) logqab [1]
Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:
S = -n/m e P = k/m
vem, pelas condições iniciais do exercício, que:
a + b = p e a.b = q
Substituindo esses valores em [1]:
A = plogqq = p
Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:
loga+bc + loga-bc = 2loga+bc.loga-bc
Solução:
Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:
Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:
E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:
E, por fim, de [1] e [2] vem que:
Exercício 5: Demonstrar que:
Solução:
A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):
O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.
Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:
Solução:
Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:
Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:
logba = logbbc = logbb + logbc = 1 + logbc [2]
Substituindo [2] em [1]:
