QUESTÕES RESOLVIDAS

1) Comprou-se vinho a $ 4,85 o litro e chope a $ 2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. Qual a quantidade de litros de vinho comprada ?

SOLUÇÃO

Pv = 4,85
Pc = 2,50
Lc = Lv + 25
Sv = Sc + 19,75

Substituindo Sv = PvLv e Sc = PcLc em
Sv = Sc + 19,75

Temos:
PvLv = PcLc + 19,75

Mas Lc = Lv + 25, logo:
PvLv = Pc(Lv + 25) + 19,75

Substituindo Pv = 4,85 e Pc = 2,50:
4,85Lv = 2,50Lv + 62,5 + 19,75

Resolvendo para Lv:
4,85Lv = 2,50Lv + 62,5 + 19,75
2,35Lv = 82,25
Lv = 35


=== Resposta === - foram comprados 35 litros de vinho. 

2) Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isto dispoe-se de jumentos. Se colocarmos 2 sacos em cada jumento sobram 13 sacos; Se colocarmos 3 sacos em cada jumento sobram 3 jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados.

SOLUÇÃO


Seja S o número de sacos e J o de jumentos.

Então
S=2J+13 (1)
S=3(J-3) (2)

(1)=(2)
2J+13=3J-9 =>
J=22

S=2*22+13=44+13=57

Conferindo:
2*22=44 (2 sacos em cada jumento)
57-44=13 (sobram 13 sacos)

Se dividir 57 por 3, dá 19 jumentos. 22-19=3 (sobram 3 jumentos)

Então são 57 sacos de cimento.

3) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada criança receberá?

SOLUÇÃO

Quando se tem que dividir em partes proporcionais a dois números ao mesmo tempo, devemos multiplicar um número pelo outro.
Quando se falar em inversamente proporcional, devemos inverter o número (ou a fração) para que se torne diretamente proporcional.
Logo, temos:


a – diretamente prop. a 2/3 e 9/4 (inverso de 4/9)
b – diretamente prop. a 4/7 e 21/2 (inverso de 2/21)


Então, 
no caso de (a), precisamos multiplicar: (2/3)*(9/4) = 18/12 = 3/2
no caso de (b), precisamos multiplicar: (4/7)*(21/2) = 84/14 = 6

Ficam todos diretamente proporcionais às seguintes frações:

a —> 3/2
b —> 6

Como são frações com diferentes denominadores, precisamos encontrar o mmc deles, para que todas as frações fiquem com o mesmo denominador:

mmc(1,2) = 2

Logo,

a — 3/2
b — 12/2

Uma vez igualados os denominadores, poderemos dispensá-los e usar apenas os numeradores:

a — 3
b — 12

o numero de balinhas é a + b = 135

....a+b.......... a ...... b ...... 135
--------------- = ----- = ----- = --------- = 9
... 3+12 ....... 3 .... 12 .........15

agora

a/3 = 9
a = 27

b/12 = 9
b = 108

MAIS UMA PROVA FUNCEFET/RJ

PROVA FUNCEFET/RJ

2 QUESTÕES DE M.D.C.

1) Um carpinteiro recebeu incumbência de cortar 40 toras de madeira de 8 metros cada uma e 60 toras da mesma madeira de 6 metros cada uma, em toras do mesmo comprimento, sendo o comprimento o maior possível. Nessas condições, quantas toras deverão ser obtidas, ao todo, pelo carpinteiro?

SOLUÇAO:


O máximo divisor comum entre 8 e 6 é 2
Cada tora de 8 metros dará 4 tábuas
Como são 40, darão 160 tábuas

Cada tora de 6 metros dará 3 tábuas
Como são 60, darão 180 tábuas

180 + 160 = 340 tábuas de 2 metros


2) Um funcionário arquivou um lote com 320 processos e outro com 360, da seguinte maneira: 
- os do primeiro lote na estante A e os do segundo lote na B;
- utilizou o menor número possível de prateleiras;
- colocou o mesmo número de processos em cada prateleira utilizada.

Nessas condições, é verdade que:
a) utilizou um total de 17 prateleiras
b) utilizou 9 prateleiras da estante A
c) utilizou 10 prateleiras da estante B
d) colocou exatamente 30 processos em cada prateleira
e) colocou 45 processos em cada prateleira

SOLUÇÃO:

MDC(360, 320) = 40

360/40 = 9 conjuntos, cada um com 40 processos na estante B

320/40 = 8 conjuntos, cada um com 40 processos na estante A

Total = 17 conjuntos, cada um com 40 processos ----> 17*40 = 360 = 320 = 680

Alternativa A 

NOTAS SOBRE FUNÇOES

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) -excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exercício resolvido:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Agora resolva esta:A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax² + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x² - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x² ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax² + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de  y = ax² + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(x_v , y_v) onde:
x_{v =} - b/2a
y_v = - D /4a , onde D = b² - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax² + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) y_max = - D / 4a ( a < 0 )
8) y_min = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x₁ e x₂ as raízes da de f(x) = ax² + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x₁).(x - x₂)

Exercícios Resolvidos

1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
*e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x₁)(x - x₂) , onde x₁ e x₂, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x² + 6x - 4x + 12
y = -2x² + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b² - 4ac = 2² - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, y_v = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2

SOLUÇÃO:Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x² .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x².
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x² .

Podemos escrever:
y = - x² + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o x_v (abcissa do vértice da função).

Assim,
x_v = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A .

Agora resolva estes similares:

1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:
a) 16
b) 8
*c) 4
d) -4
e) -16

2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:
a) 16
b) 8
c) 4
d) -4
*e) -16

CONJUNTOS NUMERICOS

Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {… -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro  de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.